Arquimedes é universalmente reconhecido como o maior dos matemáticos antigos. Ele estudou na escola de Euclides, provavelmente após a morte deste, mas seu trabalho superou em muito e até mesmo ultrapassou os trabalhos de Euclides. Por exemplo, alguns dos teoremas mais difíceis de Euclides são consequências analíticas fáceis do lema dos centroides de Arquimedes. Suas realizações são particularmente impressionantes, dada a falta de boa anotação matemática em sua época. Suas demonstrações são notadas não apenas por seu brilhantismo, mas também por sua clareza inigualável, com um biógrafo moderno, Heith, descrevendo os tratados de Arquimedes como "sem exceção, monumentos de exposição matemática tão impressionantes em sua perfeição que criam um sentimento semelhante ao de admiração na mente do leitor".

Arquimedes fez avanços na teoria dos números, álgebra e análise, mas é mais conhecido por seus muitos teoremas de geometria plana e sólida. Al-Biruni afirma que Arquimedes precedeu Hero na demonstração da fórmula de Hero para a área de um triângulo. Sua excelente aproximação da raiz de 3 indica que ele havia antecipado parcialmente o método das frações contínuas. Ele desenvolveu um método recursivo para representar números inteiros grandes e foi o primeiro a observar a lei dos expoentes: 10^x * 10^b = 10^{a + b}. Trabalhando com expoentes, ele desenvolveu notação e um nome simples para números maiores que 10¹⁶. Isso parecerá ainda mais surpreendente quando você se lembrar de que se passaram mais de 18 séculos até que os europeus inventassem a palavra "milhão".

Arquimedes encontrou um método para trisectar um ângulo arbitrário usando uma régua não marcável. A construção é impossível usando regras estritamente platônicas. Um de seus resultados geométricos mais notáveis e famosos foi determinar a área de uma seção parabólica, para a qual ele ofereceu duas provas independentes: uma usando seu princípio da alavanca e a outra usando uma série geométrica.

Parte da obra de Arquimedes sobreviveu apenas porque Tabit ibn Curra traduziu o livro dos lemas, de outra forma perdido. Ele contém o método da trisecção do ângulo e vários teoremas engenhosos sobre círculos inscritos. Tabit mostra como construir um hectágono regular. Pode não estar claro se isso veio de Arquimedes ou foi moldado por Tabit estudando o método da trisecção do ângulo de Arquimedes. Outras descobertas conhecidas apenas de segunda mão incluem os sólidos semirregulares arquimedianos, relatados por Pappus, e o Teorema da Corda Quebrada, relatado por Al-Biruni.

Arquimedes e Newton podem ser os dois melhores geômetras de todos os tempos, mas, embora cada um tenha produzido provas geométricas engenhosas, frequent0emente utilizavam um cálculo não rigoroso para descobrir resultados e, em seguida, elaboravam provas geométricas rigorosas para a publicação. Arquimedes utilizou o cálculo integral para determinar os centros de massa de um hemisfério e de uma cunha cilíndrica, e o volume da intersecção de dois cilindros. Ele também trabalhou com várias espirais, paraboloides de revolução, etc. Embora Arquimedes não tenha desenvolvido a diferenciação, a inversa da integração, Michel Chasles o credita, junto com Kepler, Cavalieri e Fermat, que viveram mais de 18 séculos depois, como um dos quatro que desenvolveram o cálculo antes de Newton e Leibniz.

Embora familiarizado com a utilidade dos infinitesimais, ele aceitou o teorema de Eudoxo que os proíbe para evitar os paradoxos de Zenão. Os matemáticos modernos referem-se a esse teorema como o axioma de Arquimedes. Arquimedes foi um astrônomo; detalhes de suas descobertas se perderam, mas é provável que soubesse que a Terra girava em torno do Sol. Ele foi um dos maiores mecanicistas de todos os tempos, descobrindo o princípio da hidrostática de Arquimedes: um corpo parcial ou completamente imerso em um fluido perde peso igual ao peso do fluido que desloca.

Arquimedes é famoso por testar a pureza de sua coroa de ouro real, mas não escreveu sua solução. Foi finalmente Galileu quem apontou que um teste baseado na medição do deslocamento de água — como se supunha ser o método Eureka de Arquimedes — seria extremamente impreciso. Em vez disso, Arquimedes deve ter aplicado os corolários menos triviais de seu princípio da hidrostática, comparando a leitura de uma balança dentro e fora d'água.

Arquimedes desenvolveu os fundamentos matemáticos que fundamentam a vantagem das máquinas básicas: alavanca, parafuso e polia composta. Embora Arquitas talvez tenha inventado o parafuso e o homem da Idade da Pedra e até mesmo outros animais utilizassem alavancas, disse-se que a polia composta foi inventada pelo próprio Arquimedes. Por essas conquistas, ele é amplamente considerado um dos três ou quatro maiores físicos teóricos de todos os tempos.

Arquimedes foi um inventor prolífico. Além de inventar a polia composta, inventou a bomba hidráulica de parafuso, chamada de parafuso de Arquimedes, um planetário em miniatura e diversas máquinas de guerra: catapultas, espelhos parabólicos para queimar navios inimigos, um canhão a vapor e a garra de Arquimedes. Alguns estudiosos atribuem o mecanismo de Anticítera a Arquimedes. Seria o planetário arquimediano mencionado por Cícero? No entanto, isso é improvável; o movimento detalhado da lua produzido pelo mecanismo era provavelmente desconhecido até Hiparco.

Seus livros incluem "Corpos Flutuantes", "Espirais", "O Reconhecimento de Areia", "Medição do Círculo", "Esfera e Cilindro", "Equilíbrios", "Planos", "Conoides e Esferoides", "Quadratura da Parábola" e "O Livro dos Lemas", traduzido e atribuído por Tabit ibn Curra. Várias obras agora perdidas sobre espelhos, balanças, alavancas, poliedros semirregulares, etc., citadas por Pappus ou outros, e descobertas recentemente, são frequentemente chamadas de sua obra mais importante.

O método: ele desenvolveu o quebra-cabeça do estômago e resolveu um difícil problema de enumeração envolvido. Outras joias famosas incluem o problema do gado. O "Livro dos Lemas" contém várias joias geométricas: o salinom, a faca do sapateiro, etc., e é creditado a Arquimedes por Tabit ibn Curra, mas a atribuição é contestada.

Arquimedes descobriu fórmulas para o volume e a área de superfície de uma esfera e pode até ter sido o primeiro a anotar e provar a relação simples entre as funções e a área de um círculo. Por essas razões, é piquetemente chamado de constante de Arquimedes. Sua aproximação foi a melhor de sua época; Apolônio logo a superou, mas usando o método de Arquimedes. O Teorema do Mapa de Equiária de Arquimedes afirma que uma esfera e seu cilindro envolvem a mesma área de superfície, assim como os truncamentos das figuras. Arquimedes também provou que o volume dessa esfera é 2/3 do volume do cilindro. Ele solicitou que uma representação de tal esfera e cilindro estivesse inscrita em seu túmulo.

Arquimedes compartilhava a atitude de matemáticos posteriores, como Hardy e Brouwer, como sugerido pelo comentário de Plutarco de que Arquimedes considerava a matemática aplicada como ignóbil e sórdida, e não se dignou a escrever sobre suas invenções mecânicas. Em vez disso, ele colocou toda a sua ambição naquelas especulações cuja beleza e sutileza não são contaminadas por nenhuma mistura das necessidades comuns da vida. Alguns dos maiores escritos de Arquimedes, incluindo "O Método" e "Corpos Flutuantes", foram preservados apenas em um palimpsesto redescoberto em 1906 e em grande parte decifrado somente após 1998. As ideias exclusivas dessa obra são uma antecipação da integração de Riemann e o cálculo do volume de uma cunha cilíndrica, anteriormente atribuída a Kepler, juntamente com OESME e Galileu.

Arquimedes foi um dos poucos a comentar o paradoxo da equerosidade, o fato de haver tantos quadrados perfeitos quanto números inteiros. Os gregos antigos e matemáticos medievais conheciam bem o conceito de infinito, mas evitavam seu uso, em parte devido aos paradoxos de Zenão. No entanto, numa parte recentemente decifrada de "O Método", Arquimedes faz o único uso explícito de conjuntos infinitos antes dos tempos modernos. Embora Euler e Newton possam ter sido os matemáticos mais importantes, e Weierstrass e Gauss os maiores provadores de teoremas, é geralmente aceito que Arquimedes foi o maior gênio que já existiu. Talvez eu deva classificá-lo como número um, em vez de Newton, mas a influência histórica de Newton foi enorme, enquanto a de Arquimedes foi minúscula. Arquimedes foi simplesmente muito à frente de seu tempo para ter grande significado histórico. Hart omite completamente da sua lista de pessoas mais influentes; ele ocupa o 11º lugar na lista do panteão.

Alguns acreditam que a revolução científica teria começado mais cedo se a obra-prima de Arquimedes, "O Método", tivesse sido descoberta quatro ou cinco séculos antes das catapultas que queimavam navios e dos parafusos que moviam a água.

Arquimedes não era só um gênio; ele era séculos à frente de seu tempo. Seu legado atravessou impérios e cientistas avançados, e ainda hoje nos desafia a pensar além dos limites da matemática.