Equações e inequações são fundamentais na matemática. Saber resolvê-las exige compreender propriedades como a distributiva, fatoração e operações com números reais. Vamos ver passo a passo.

1. Equações do 1º Grau

São equações da forma ax + b = 0.

Exemplo:

x + 5 = 12

Subtraímos 5 dos dois lados:

x = 12 - 5
x = 7

Usando Distributiva:

2(x + 3) = 14

Aplicamos a distributiva:

2x + 6 = 14

Subtraímos 6 de ambos os lados:

2x = 8

Dividimos por 2:

x = 4

2. Equações do 2º Grau

Equações da forma ax² + bx + c = 0. Podemos resolvê-las por:

• Fatoração
• Fórmula de Bhaskara
• Completando quadrado

Exemplo 1: Fatoração

x² - 3x + 2 = 0

Fatoramos:

(x - 1)(x - 2) = 0

Soluções:

x = 1 ou x = 2

Exemplo 2: Bhaskara

2x² - 4x - 6 = 0

Aplicamos a fórmula:

? = b² - 4ac = (-4)² - 4×2×(-6) = 16 + 48 = 64
x = (-b ± v?) / 2a
x = (4 ± 8)/4
x1 = 12/4 = 3
x2 = -4/4 = -1
  

3. Equações do 3º Grau

Forma geral: ax³ + bx² + cx + d = 0.

Exemplo:

x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Tentamos fatoração por agrupamento:

(x³ - 6x²) + (11x - 6)
x²(x - 6) + 1(11x - 6) ? não funciona assim.
Tentamos raízes racionais: testando x = 1:
1³ - 6×1² + 11×1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ?
Dividimos por (x - 1) usando Briot-Ruffini:

Obtemos:

(x - 1)(x² - 5x + 6) ? fatoramos mais:

(x - 1)(x - 2)(x - 3)

Soluções:

x = 1, 2, 3

4. Inequações

Inequações têm sinais de <, >, =, =. O processo é similar ao das equações, mas com atenção especial ao sinal.

Exemplo 1:

x - 5 > 2

Adicionamos 5:

x > 7

Exemplo 2 com multiplicação negativa:

-2x < 6

Dividimos por -2 (e invertemos o sinal):

x > -3

Exemplo 3 com Distributiva:

3(x - 1) < 2x + 4

Distributiva:

3x - 3 < 2x + 4

Isolamos x:

x < 7

Resumo Visual:

• Distributiva: a(b + c) = ab + ac
• 1º Grau: isolar x
• 2º Grau: usar fatoração ou Bhaskara
• 3º Grau: tentar raízes e fatorar
• Inequações: tratar sinais com atenção especial ao multiplicar ou dividir por números negativos

Estude e pratique! Esses conceitos são essenciais para provas, vestibulares e concursos.