Entre os maiores matemáticos de todos os tempos, Bernhard Riemann, imagine um jovem tímido vindo de uma pequena vila alemã que ousou sonhar além das fronteiras conhecidas da matemática. Georg Friedrich Bernhard Riemann não apenas desafiou as ideias do seu tempo; ele redefiniu o próprio conceito de espaço e de infinito e abriu portas que levaram à teoria da relatividade e à matemática moderna. Prepare-se para conhecer a mente brilhante que transformou o impossível em realidade e cuja visão ainda ecoa no universo até hoje.

Georg Friedrich Bernhard Riemann foi um matemático que fez profundas contribuições para a análise, teoria dos números e geometria diferencial. No campo da análise real, ele é mais conhecido pela primeira formulação rigorosa da integral, a integral de Riemann, e seu trabalho sobre séries de Fourier. Suas contribuições para a análise complexa incluem, mais notavelmente, a introdução de superfícies de Riemann, abrindo novos caminhos em um tratamento geométrico natural da análise complexa. Seu artigo de 1859 sobre a função de contagem de primos, contendo a declaração original da hipótese de Riemann, é considerado um artigo fundamental da teoria analítica dos números. Por meio de suas contribuições pioneiras para a geometria diferencial, Riemann lançou as bases da matemática da relatividade geral. Ele é considerado por muitos como um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Riemann nasceu em 17 de setembro de 1826 em Breselens, uma vila perto de Danenberg, no reino de Hannover. Seu pai, Friedrich Bernhard Riemann, era um pobre pastor luterano em Brilence que lutou nas guerras napoleônicas. Sua mãe, Charlotte Ebel, morreu em 1846. Riemann foi o segundo de seis filhos. Riemann exibiu talento matemático excepcional, com habilidades de cálculo desde cedo, mas sofria de timidez e medo de falar em público, e tinha saúde frágil.

Em 1840, Riemann foi para Hannover para morar com sua avó e frequentar o Liceu, após anos do Ensino Fundamental, pois esse tipo de escola não era acessível a partir de sua aldeia natal. Após a morte de sua avó, em 1842, ele foi transferido para o Johannellum Lunburg, uma escola secundária em Lunburg. Lá, Riemann estudou a Bíblia intensivamente, mas frequentemente se distraía com matemática. Seus professores ficavam impressionados com sua capacidade de realizar operações matemáticas complexas, nas quais ele frequentemente superava o conhecimento de seu instrutor.

Em 1846, aos 19 anos, ele começou a estudar filologia e teologia cristã para se tornar pastor e ajudar nas finanças de sua família. Durante a primavera de 1846, seu pai, depois de reunir dinheiro suficiente, enviou Riemann para a Universidade de Göttingen, onde planejava estudar para obter um diploma em teologia. No entanto, uma vez lá, ele começou a estudar matemática com Carl Friedrich Gauss, especificamente suas palestras sobre o método dos mínimos quadrados. Gauss recomendou que Riemann desistisse de seu trabalho teológico e entrasse no campo matemático. Após obter a aprovação de seu pai, Riemann foi transferido para a Universidade de Berlim em 1847. Durante seu período de estudo, Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jacob Steiner e Gothold Eisenstein estavam ensinando. Ele permaneceu em Berlim por dois anos e retornou a Göttingen em 1849.

Riemann realizou suas primeiras palestras em 1854, que fundaram o campo da geometria riemanniana e assim prepararam o cenário para a teoria geral da relatividade de Albert Einstein. Em 1857, houve uma tentativa de promover Riemann ao status de professor extraordinário na Universidade de Göttingen. Embora essa tentativa tenha falhado, resultou em Riemann finalmente recebendo um salário regular. Em 1859, após a morte de Dirichlet, que ocupava a cadeira de Gauss na Universidade de Göttingen, ele foi promovido a chefe do Departamento de Matemática da Universidade de Göttingen. Ele também foi o primeiro a sugerir o uso de dimensões maiores que apenas três ou quatro para descrever a realidade física. Em 1862, ele se casou com Elise Cockque e eles tiveram uma filha. Riemann fugiu de Göttingen quando os exércitos de Hannover e da Prússia se enfrentaram lá. Em 1866, ele morreu de tuberculose durante sua terceira viagem à Itália, em Celasca, hoje um vilarejo de Verbania, no Lago Maggiore, onde foi enterrado no cemitério de Biganzolo, Verbania.

Riemann era um cristão dedicado, filho de um pastor protestante, e via sua vida como matemático como outra forma de servir a Deus. Durante sua vida, ele se apegou fortemente à sua fé cristã e a considerou o aspecto mais importante de sua vida. Na época de sua morte, ele estava recitando a oração do Senhor com sua esposa e morreu antes que terminassem de dizer a oração. Enquanto isso, em Göttingen, sua governanta descartou alguns dos papéis em seu escritório, incluindo muitos trabalhos não publicados. Riemann se recusou a publicar trabalhos incompletos, e alguns insights profundos podem ter sido perdidos.

Os trabalhos publicados por Riemann abriram áreas de pesquisa que combinavam análise com geometria. Posteriormente, estas se tornariam partes importantes das teorias da geometria riemanniana, geometria algébrica e teoria das variedades complexas. A teoria das superfícies de Riemann foi elaborada por Felix Klein e, em particular, por Adolf Hurwitz. Essa área da matemática faz parte da base da topologia e ainda é aplicada de maneiras inovadoras à física matemática.

Em 1853, Gauss pediu a Riemann, seu aluno, que preparasse uma habilitation schrift sobre os fundamentos da geometria. Ao longo de muitos meses, Riemann desenvolveu sua teoria de dimensões superiores e proferiu sua palestra em Göttingen em 10 de junho de 1854, intitulada "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen". Não foi publicado até 12 anos depois, em 1868, por Dedekind, dois anos após sua morte. Sua recepção inicial parece ter sido lenta, mas agora é reconhecida como uma das obras mais importantes da geometria.

O tema central deste trabalho é a geometria. Ele encontrou a maneira correta de estender a geometria diferencial de superfícies para n dimensões, o que o próprio Gauss provou em seu teorema. Os objetos fundamentais são chamados de métrica riemanniana e tensor de curvatura de Riemann. Para o caso da superfície bidimensional, a curvatura em cada ponto pode ser reduzida a um número escalar, sendo as superfícies de curvatura constante positiva ou negativa modelos das geometrias não euclidianas. A métrica de Riemann é uma coleção de números em cada ponto do espaço, ou seja, um tensor que permite medições de velocidade em qualquer trajetória, cuja integral fornece a distância entre os pontos finais da trajetória. Por exemplo, Riemann descobriu que, em quatro dimensões espaciais, são necessários 10 números em cada ponto para descrever distâncias e curvaturas em uma variedade, não importa quão distorcida ela esteja.

Em sua dissertação, ele estabeleceu uma base geométrica para a análise complexa por meio de superfícies de Riemann, por meio das quais funções multivaloradas, como o logaritmo com infinitas folhas ou a raiz quadrada com duas folhas, poderiam se tornar funções unívocas. Funções complexas são funções harmônicas, ou seja, satisfazem a equação de Laplace e, portanto, as equações de Cauchy-Riemann. Nessas superfícies, as funções são descritas pela localização de suas singularidades e pela topologia das superfícies. Suas contribuições para esta área são numerosas. O famoso teorema do mapeamento de Riemann afirma que um domínio simplesmente conexo no plano complexo é bi-holomorficamente equivalente, ou seja, há uma bijeção entre eles que é holomorfa com um inverso holomorfo. A generalização do teorema para superfícies de Riemann é o famoso teorema da uniformização, que foi provado no século XIX por Henri Poincaré e Felix Klein. Aqui também, provas rigorosas foram dadas pela primeira vez após o desenvolvimento de ferramentas matemáticas mais ricas, neste caso a topologia, para a prova da existência de funções em superfícies de Riemann. Ele usou uma condição de minimalidade que chamou de princípio de Dirichlet.

Carl Friedrich Gauss encontrou uma lacuna na prova, afirmando que sua suposição de trabalho, de que o mínimo existia, poderia não funcionar. O espaço de funções poderia não ser completo e, portanto, a existência de um mínimo não era garantida. Através do trabalho de David Hilbert no cálculo das variações, o princípio de Dirichlet foi finalmente estabelecido. Fora isso, Weierstrass ficou muito parecido com Riemann, especialmente com sua teoria das funções abelianas. Quando o trabalho de Riemann apareceu, Weierstrass retirou seu artigo do Crell's Journal e não o publicou. Eles tiveram um bom entendimento quando Riemann o visitou em Berlim em 1859. Weierstrass encorajou seu aluno Herman Amandus Schwarz a encontrar alternativas ao princípio de Dirichlet na análise complexa, na qual obteve sucesso.

Uma anedota de Arnold Sommerfeld mostra as dificuldades que os matemáticos contemporâneos tiveram com as novas ideias de Riemann. Em 1870, Weierstrass levou a dissertação de Riemann consigo em férias em Ried e reclamou que era difícil de entender. O físico Hermann von Helmholtz o auxiliou no trabalho durante a noite e retornou com o comentário de que era natural e muito funcional. Outros destaques incluem seu trabalho sobre funções abelianas e funções teta em superfícies de Riemann. Weierstrass competia com Riemann desde 1857 para resolver os problemas da inversa de jacobiana para integrais abelianas, uma generalização das integrais elípticas. Riemann utilizou funções teta em várias variáveis e prejudiciais. O problema da determinação dos zeros dessas funções teta também foi investigado.

Weierstrass também investigou matrizes de períodos e as caracterizou através das relações de períodos riemannianos simétricas, com parte real negativa. Muitos matemáticos, como Alfred Clebsch, aprofundaram o trabalho de Riemann sobre curvas algébricas. Essas teorias dependiam das propriedades de uma função definida em superfícies de Riemann. Por exemplo, o teorema de Riemann-Roch, que foi aluno de Riemann, diz algo sobre o número de diferenciais linearmente independentes com condições conhecidas nos zeros e polos de uma superfície de Riemann. De acordo com Detlef Laugwitz, funções automórficas apareceram pela primeira vez em um ensaio sobre a proposta de Laplace em cilindros eletricamente carregados. Riemann, no entanto, usou tais funções para mapas conformes, como mapear triângulos topológicos para o círculo.

Em sua palestra de 1859 sobre funções hipergeométricas ou em seu tratado sobre superfícies mínimas, no campo da análise real, ele descobriu a integral de Riemann. Em sua habilitação, entre outras coisas, ele demonstrou que toda função contínua por partes é integrável. Da mesma forma, a integral de Stieltjes remonta ao matemático de Göttingen e, por isso, ambas são chamadas em conjunto de integral de Riemann-Stieltjes. Em seu trabalho de habilitação sobre séries de Fourier, onde seguiu o trabalho de seu professor, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ele demonstrou que funções integráveis por Riemann são representáveis por séries de Fourier. Dirichlet demonstrou isso para funções contínuas e diferenciáveis por partes, portanto, com o número contável de pontos não diferenciáveis. Riemann deu um exemplo de uma série de Fourier representando uma função contínua e quase não diferenciável em lugar nenhum, um caso não coberto por Dirichlet. Ele também provou o lema de Riemann-Lebesgue: se uma função é representável por uma série de Fourier, então os coeficientes de Fourier tendem a zero para n grande.

O ensaio de Riemann também foi o ponto de partida para o trabalho de Georg Cantor com as séries de Fourier, que foi o ímpeto para a teoria dos conjuntos. Ele também trabalhou com equações diferenciais hipergeométricas em 1857, utilizando métodos analíticos complexos, e apresentou as soluções através do comportamento de caminhos fechados em torno de singularidades descritas pela matriz de monodromia. A demonstração da existência de tais equações diferenciais por matrizes de monodromia previamente conhecidas é um dos problemas de Hilbert.

Riemann fez algumas contribuições famosas à moderna teoria analítica dos números. Em um único artigo curto, o único que publicou sobre o tema da teoria dos números, ele investigou a função zeta que hoje leva seu nome, estabelecendo sua importância para a compreensão da distribuição de números primos. A hipótese de Riemann foi uma de uma série de conjecturas que ele fez sobre as propriedades da função. Na obra de Riemann, há muitos outros desenvolvimentos interessantes. Ele provou a equação funcional para a função zeta, já conhecida por Leonard Euler, por trás da qual se encontra uma função teta, através da soma dessa função de aproximação sobre os erros não triviais na reta com a porção real. Ele forneceu uma fórmula explícita exata para p. Riemann conhecia o trabalho de Pafnuty Chebyshev sobre o teorema dos números primos; ele havia visitado Dirichlet em 1852.

Riemann morreu jovem, mas seu legado é eterno. Cada equação, cada nova descoberta científica que hoje admiramos, carrega um pouco da ousadia daquele jovem sonhador. Sua coragem para pensar diferente mudou para sempre o nosso entendimento do mundo. Se a história de Bernhard Riemann te inspirou, compartilhe esse conteúdo com quem também ama ciência e, juntos, vamos continuar explorando os limites do conhecimento.