Em 1924, o matemático David Hilbert inventou um problema bastante interessante enquanto estudava o infinito. Ele propôs o seguinte cenário: imagine um hotel infinito, com os quartos numerados como 1, 2, 3 e assim por diante, até o infinito. Cada quarto está ocupado por uma pessoa.

Quando chega mais uma pessoa

O hotel está completamente lotado, mas uma nova pessoa chega querendo se hospedar. Será que é possível acomodá-la? Sim! Basta deslocar os hóspedes:

• A pessoa do quarto 1 vai para o quarto 2.
• A pessoa do quarto 2 vai para o quarto 3.
• A pessoa do quarto 3 vai para o quarto 4.
• E assim por diante.

Com essa reorganização, o quarto 1 fica vago, permitindo que a nova pessoa ocupe esse espaço. Essa ideia pode ser generalizada para hospedar um número finito de novas pessoas.

Quando chega um grupo de novas pessoas

Agora, imagine que chegam três novas pessoas. Podemos realocar os hóspedes da seguinte forma:

• A pessoa do quarto 1 vai para o quarto 4.
• A pessoa do quarto 2 vai para o quarto 5.
• A pessoa do quarto 3 vai para o quarto 6.

Com isso, os quartos 1, 2 e 3 ficam vagos, permitindo que cada uma das novas pessoas ocupe um desses quartos.

Quando chega um ônibus com infinitos passageiros

E se um ônibus com infinitos passageiros chegar? Mesmo assim, é possível acomodá-los. Basta realocar os hóspedes atuais de forma que ocupem apenas os quartos de número par:

• A pessoa do quarto 1 vai para o quarto 2.
• A pessoa do quarto 2 vai para o quarto 4.
• A pessoa do quarto 3 vai para o quarto 6.
• E assim por diante.

Com isso, todos os quartos de número ímpar ficam vagos. Assim, o primeiro passageiro do ônibus vai para o quarto 1, o segundo para o quarto 3, o terceiro para o quarto 5, e assim por diante.

Quando chegam infinitos ônibus com infinitos passageiros

Agora, vamos aumentar ainda mais o problema: imagine infinitos ônibus chegando, cada um com infinitos passageiros. Ainda é possível acomodar todos:

1. Primeiro, realocamos os hóspedes atuais para os quartos que são potências de 2 (por exemplo, 2, 4, 8, 16, ...).
2. Depois, os passageiros do primeiro ônibus são colocados nos quartos que são potências de 3 (por exemplo, 3, 9, 27, 81, ...).
3. Os passageiros do segundo ônibus são colocados nos quartos que são potências de 5 (por exemplo, 5, 25, 125, ...).
4. Esse padrão continua, usando potências de números primos (7, 11, 13, ...).

Dessa forma, todos os infinitos passageiros de todos os infinitos ônibus podem ser acomodados no hotel infinito.

Conclusão

O problema do Hotel Infinito de Hilbert ilustra de maneira fascinante as propriedades do infinito e a forma como ele desafia nossa intuição. Mesmo quando parece impossível, é sempre possível reorganizar o infinito de forma criativa!