Noção de conjunto
A noção de conjunto é primitiva, é a base da contagem, é nela que se baseia o principio da matemática.
Pois os pastores a milênios a.c. faziam comparações entre ovelhas e pedras /gravetos para controlar a quantidade de ovelhas.
No final do dia conferiam se tinha uma pedra a mais, sinal de perda de uma ovelha!
Explorando os Fundamentos: Conjuntos Numéricos na Matemática Básica
Bem-vindo ao FocusCosmus, sua fonte confiável de recursos educacionais em matemática básica! Neste texto, vamos mergulhar no fascinante mundo dos conjuntos numéricos, um dos pilares fundamentais da matemática.
O que são Conjuntos Numéricos?
Em essência, os conjuntos numéricos são grupos ou coleções de números que compartilham características comuns. Eles nos fornecem uma estrutura organizada para categorizar os diferentes tipos de números que encontramos em matemática.
Principais Tipos de Conjuntos Numéricos
- Números Naturais (N): Este é o conjunto dos números inteiros positivos, começando do 1 e indo até o infinito. Eles são usados para contar objetos ou representar quantidades.Exemplo: 1, 2, 3, 4, …
- Números Inteiros (Z): Este conjunto inclui todos os números naturais, seus opostos e o zero.Exemplo: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
- Números Racionais (Q): Os números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração de dois números inteiros, onde o denominador não é zero.Exemplo: 1/2, -3/4, 5, -7, 0.25, …
- Números Irracionais (I): Estes são números reais que não podem ser expressos como uma fração simples. Suas representações decimais são infinitas e não repetitivas.Exemplo: π (pi), √2 (raiz quadrada de 2), …
- Números Reais (R): Este é o conjunto que engloba todos os números racionais e irracionais. Em outras palavras, inclui todos os números que podem ser representados em uma linha numérica.
Aplicações dos Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos são essenciais em diversas áreas da matemática e têm aplicações práticas em várias disciplinas, incluindo física, engenharia, economia e ciência da computação. Eles fornecem a base para entender e trabalhar com uma ampla gama de conceitos matemáticos, desde operações básicas até cálculos avançados.
Nesse tutorial vamos dominar os conceitos de conjuntos numéricos é fundamental para construir uma base sólida em matemática. Eles nos ajudam a compreender a natureza dos números e suas relações, abrindo as portas para uma infinidade de descobertas e aplicações
O que são conjuntos numéricos?
Em essência, os conjuntos numéricos são grupos ou coleções de números que compartilham características comuns. Eles nos fornecem uma estrutura organizada para categorizar os diferentes tipos de números que encontramos em matemática.
- Conjunto dos Números Naturais – N
- Conjunto dos Números Inteiros – Z
- Conjunto dos Números Racionais – Q
- Conjunto dos Números Irracionais – I
- Conjunto dos Números Reais – R
- Conjunto dos Números Complexos – C
- O conjunto dos números reais, representado pela letra R, e contém todos os outros conjuntos;
- O conjunto dos números irracionais, representado pela letra I, está contido no conjunto R;
- O conjunto dos números racionais, representado pela letra Q, também está contido no conjunto dos números reais;
- O conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, e está contido no conjunto Q e o conjunto R;
- E, por fim, o conjunto dos números naturais, representado pela letra N, que, por sua vez, está contido nos conjuntos Z, Q, e R.
Explorando os Reinos Numéricos:
- Representação: Descubra como cada conjunto numérico é representado em símbolos e na reta numérica.
- Operações: Aprenda as operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) em cada reino.
- Propriedades: Explore as características e regras que definem cada conjunto numérico.
- Aplicações: Desvende como os conjuntos numéricos são usados em diversas áreas da matemática, ciência e vida cotidiana.
Conjunto nos números naturais.
Os números naturais são os números inteiros positivos começando de 1 e indo até o infinito. Este conjunto é representado por N = {1, 2, 3, 4, …}. Os números naturais são usados principalmente para contar objetos, representar quantidades e descrever processos de contagem.
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N, contendo os números positivos incluindo o 0 (zero). Eles são usados para contar objetos ou representar quantidades em situações do mundo real.
- N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
É um conjunto infinito, não dá para representar todos os números, assim as reticências (…) indica que é um conjunto infinito. Também pode ser representado da seguinte forma:
- N = {x ∈ N | x ≥ 0 }
Subconjuntos dos números naturais
Temos alguns conjuntos derivados do conjunto dos números naturais, são eles:
- N* = {1, 2, 3, 4, 5, …}; conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero;
- Np = {0, 2, 4, 6, 8, …}; conjunto dos números naturais pares;
- Ni = {1, 3, 5, 7, 9; …}; conjunto dos números naturais ímpares;
- P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}; conjunto dos números naturais primos.
Todos esses conjuntos estão contidos no conjunto dos números naturais, portanto, são subconjuntos dele.
Representação: {0,1,2,3,4,5…}
Na subtração no conjunto dos números naturais, não era possível uma subtração onde o minuendo era menor que o subtraendo ex: 2-5 = ?
– para resolver este problema foi necessário ampliar o conjunto dos números naturais e formar um outro conjunto.
Conjunto dos números inteiros: (Z)
- Incluem todos os números naturais, seus opostos (negativos) e o zero: ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
- Usados para representar valores positivos, negativos e zero, como temperatura em um dia frio (negativo) ou saldo bancário (positivo ou negativo).
Eles são usados para contar objetos ou representar quantidades em situações do mundo real.
2. Números Inteiros Positivos (Z+)
Este conjunto consiste em todos os números inteiros maiores que zero.
Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Os números inteiros positivos são usados em contagem, contagem de objetos, representação de quantidades positivas, etc.
3. Números Inteiros Negativos (Z–)
Este conjunto consiste em todos os números inteiros menores que zero.
Z– = {-1, -2, -3, -4, -5, …}
Os números inteiros negativos são usados para representar dívidas, temperaturas abaixo de zero, perdas financeiras, etc.
4. Números Inteiros Não Positivos (Z≤0)
Este conjunto inclui zero e todos os números inteiros negativos.
Z≤0 = {0, -1, -2, -3, -4, …}
Os números inteiros não positivos são usados em contextos onde a inclusão do zero é importante, como em sistemas de coordenadas, operações matemáticas que envolvem valores negativos, etc.
5. Números Inteiros Não Negativos (Z≥0)
Este conjunto inclui zero e todos os números inteiros positivos.
Z≥0= {0, 1, 2, 3, 4, …}
Os números inteiros não negativos são usados em situações onde apenas valores positivos ou zero são relevantes, como contagem de itens em estoque, idade de uma pessoa, etc.
“O conjunto dos números inteiros surgiu com a necessidade de realizar-se a operação de subtração sem restrições. Como foi visto, ao subtrair-se um número menor de outro maior, a resposta não pertence ao conjunto dos naturais.
[4 – 8 = -4]
O conjunto dos números inteiros também é representado por uma sequência numérica infinita e é denotado pelo símbolo ℤ.
Z={ …, -4, -3, -2, -1, 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,…}
Assim como no conjunto dos números naturais, ao colocar-se um asterisco no símbolo ℤ, o elemento zero é retirado do conjunto, assim:
Z*={ …, -4, -3, -2, -1, 1 ,2 ,3 ,4 ,…}
O símbolo (–) que acompanha um número indica que este é simétrico, assim o simétrico do número 4 é o número –4. Observe também que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, ou seja, o conjunto dos números naturais é subconjunto do dos números inteiros.
ℕ ⸦ ℤ”
Com este conjunto foi resolvido este problema!
2 – 5=-3 (menos três ou três negativos).
Mas surgiu um novo problema como representar o resultado de uma divisão não exata com números inteiros. Foi necessário criar um novo conjunto numérico
Conjunto dos números racionais ou fracionários.
O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo ℚ e não é representado por uma sequência numérica. Esse conjunto é constituído por todos os números que podem ser representados na forma de fração. Representamos seus elementos da seguinte maneira:
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração de dois números inteiros, onde o denominador não é zero.
Exemplo: 1/2, -3/4, 5, -7, 0.25, …
Sabemos que todo número inteiro pode ser representado por uma fração, ou seja, o conjunto dos números inteiros está contido no dos números racionais, logo, o conjunto dos números inteiros é subconjunto dos racionais.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Os números que possuem representação infinita, como as dízimas periódicas, também possuem representação em forma de fração, desse modo, eles também são racionais.”
Q= {… -5-,…, 1/3, 0, 1/2, 2/5, 9/2…}
Fazem parte deste conjunto.
Os números inteiros números decimais finitos
4/1=4, -3/1=-3, etc pois 0,5=1/2, 0,75=1/3
nº decimais infinitos e periódicos (dizimas periódicas )
pois
0,888888=9/8, 0,6666=2/3, etc
Conjuntos dos números irracionais (I)
Os números irracionais são números reais que não podem ser expressos como uma fração simples. Suas representações decimais são infinitas e não repetitivas.
Exemplos comuns de números irracionais incluem π (pi), √2 (raiz quadrada de 2), e [e] (número de Euler). Esses números são fundamentais em geometria, cálculo e outras áreas da matemática.
O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I, contendo todos os números decimais não exatos e não periódicos.
Exemplos: 4,21315… ou 5,122030…
“Conjunto dos números irracionais
Como vimos, um número é racional se ele pode ser escrito na forma de fração. Também foi dito que os números infinitos e periódicos são racionais, no entanto, existem alguns números que não podem ser escritos na forma de uma fração e que, portanto, não pertencem ao conjunto dos números racionais.
Esses números que não são racionais recebem o nome de irracionais e têm como principais características a infinidade da parte decimal e a não periodicidade, ou seja, nenhum número da parte decimal repete-se. Veja alguns exemplos de números irracionais.
Exemplo 1:
As raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos.
Exemplo 2:
Constantes provenientes de razões especiais, como número de ouro, número de Euler ou Pi.”
Por exemplo
Lê-se raiz quadrada! V2 =1.4142135.. V3 =1.7320508…
São numeros decimais infinitos e não periódicos. Um exemplo de nº irracional muito usado em matemática é 3,1415926… representado pela letra grega pi
Subconjunto dos números reais (R)
O conjunto dos números reais é representado pela letra R, contendo todos os conjuntos anteriormente citados. Assim, R é a união dos conjuntos N, Z, Q e I.
Subconjunto dos números reais
- R* conjunto dos números reais sem o zero;
- R+ conjunto dos números reais positivos;
- R*+ conjunto dos números reais e sem o zero;
- R– conjunto dos números reais negativos;
- R*– conjunto dos números reais negativos e sem o zero.
Conjunto dos números reais ú
È o conjunto formado pela reunião dos números racionais e os nº irracionais
{ ú d Q d ø } assim relacionando todos os conjuntos através do diagrama de Venn, temos:
Representação dos números reais na reta numerada:
o conjunto ú completa toda a reta numerada.
-7/2 -1 0 ½ 1 V2 5/2 4 6
Aplicações dos Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos têm aplicações em diversas áreas da matemática e em várias disciplinas científicas e práticas. Eles são usados em geometria, álgebra, cálculo, física, engenharia, economia e muitos outros campos. Desde contar objetos até modelar fenômenos naturais complexos, os conjuntos numéricos são uma ferramenta fundamental para entender o mundo ao nosso redor.