Propriedades Das Operações Aritmeticas
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Neste tutorial, vamos explicar as propriedades das operações aritméticas da matemática.
Propriedade da:
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:
- COMUTATIVA
- ASSOCIATIVA
- ELEMENTO NEUTRO
PROPRIEDADES COMUTATIVA
A ordem das parcelas não alteram a soma.
a+b = b+a
EX: 2+5 = 5+2
PROPRIEDADES ASSOCIATIVA
Alterar o agrupamento das parcelas não altera a soma.
a+(b+c) = (a+b)+c
EX: 2+(5+3) = (2+5)+3
PROPRIEDADE – ELEMENTO NEUTRO NA ADIÇÃO
A soma de 0 e qualquer número é esse número.
a + 0 = a
EX: 2 + 0 = 2
PROPRIEDADES DA SUBTRAÇÃO
Ao contrario da adição, a subtração não possui muitas propriedades específicas, pois ela não é associativa nem comutativa. Contudo, existe um elemento neutro na subtração.
A SUBTRAÇÃO NÃO É ASSOCIATIVA
A associatividade não vale na adição.
(a – b) – c ≠ a – (b – c)
Exemplo:
(6 – 2) – 1 = 4 – 1 = 3
6 – (2 – 1) = 6 – 1 = 4
A SUBTRAÇÃO NÃO É COMUTATIVA
Na subtração o que é minuendo e o que é subtraendo é relevante, pois, se alterarmos a ordem, a diferença será diferente.
a – b ≠ b – a
Exemplo:
6 – 2 = 4
2 – 6 = -4
- PROPRIEDADE – ELEMENTO NEUTRO NA SUBTRAÇÃO
Existe um elemento neutro na subtração, que é o 0.
Quando calculamos a diferença entre um número e 0, o resultado vai ser o próprio número.
a – 0 = a
Exemplos:
10 – 0 = 10
1432 – 0 = 1432
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
- COMUTATIVA
- ASSOCIATIVA
- ELEMENTO NEUTRO
- DISTRIBUTIVA
- ELEMENTO INVERSO
PROPRIEDADE – COMUTATIVA
A ordem em que multiplicamos os números não altera o produto
a x b = b x a
EX: 2 x 5 = 10 = 5 x 2 = 10
PROPRIEDADE – ASSOCIATIVA
É uma regra matemática que determina que a ordem em que os fatores estão agrupados em uma multiplicação não muda o produto.
a x (b x c)= (a x b) x c
EX: 2 x (5 x 4) = 40 = (2 x 5) x 4= 40
PROPRIEDADE – DISTRIBUTIVA
Na multiplicação podemos distribuir o produto, isso ocorre quando vamos multiplicar um número por uma soma.
a · (b + c) = a · b + a · c
EX: 3 · (5 + 4) = 3 · 9 = 27
3 · (5 + 4) = (3 · 5) + (3 · 4) = 15 + 12 = 27
PROPRIEDADE – ELEMENTO NEUTRO
Qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo
a x 1= a
EX: 2 x 1= 2
PROPRIEDADE – ELEMENTO INVERSO
O elemento inverso na multiplicação é aquele que quando multiplicado por um número resulta em 1.
O elemento inverso de um número a é dado por.
PROPRIEDADES DA DIVISÃO
COMUTATIVA
PROPRIEDADES – COMUTATIVA
Propriedade I: a divisão não é comutativa.
EX: 4 : 2 = 2
2 : 4 = 0,5
Portanto, 4 : 2 ≠ 2 : 4
PROPRIEDADE – DISTRIBUTIVA
Propriedade II: a divisão não é associativa.
EX: (40 : 4) : 2 = 10 : 2 = 5
40 : (4 : 2) = 40 : 2 = 20
Portanto, (40 : 4) : 2 ≠ 40 : (4 : 2)
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Propriedade 1: PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
Se tivermos a * a, onde “a” é a base e “m” e “n” são expoentes, podemos simplificar isso para a.
Em outras palavras, quando multiplicamos potências com a mesma base, podemos somar os expoentes.
Exemplo:
(2 2 ) * (2 3) = 2 (2+3)= 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
(3 4 ) * (3 2) = 3 (4+2) = 36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729
Propriedade 2: DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
A divisão de potências de mesma base é igual a potência com a mesma base e expoente igual à diferença dos expoentes.
Ex:
(25) / (22) = 2(5-2) = 23 = 2 x 2 x 2 = 8
(36) / (34) = 3(6-2) = 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Propriedade 3: POTÊNCIA DE POTÊNCIA.
A potência de potência é igual à potência com o expoênte da potência interna como expoênte da potência externa.
Por exemplo:
(23)2 = 2(3 x 2) = 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2= 64
(36)2 = 3(6×2)= 312 = 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 = 531.441
Propriedade 4: Potência do produto
A potência do produto é igual ao produto das potências dos fatores.
Por exemplo:
(a*b)c = (ac)*(bc)
(2 * 3)2 = (22)*(32) = 4*9 = 36
Propriedade 6: Potência de expoente 0
Toda potência com expoente zero é igual a 1.
Por exemplo:
20 = 1
30 = 1
Propriedade 7: Potência de expoente 1
Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
Por exemplo:
21 = 2
31 = 3
Propriedade 8: Potência de expoente negativo -n
A potência de um número positivo com expoente negativo é igual à recíproca da potência com expoente positivo de mesma base.
Por exemplo:
2-1 = 1 / (22) = ¼
3-3= 1 / (33) = 1 / 27
Propriedade 9: Potência de expoente racional
A potência de um número com expoente racional é igual à raiz da potência com expoente inteiro de mesma base e que seja o numerador da fração do expoente racional.
Por exemplo:
2(5/2) = √(25) = √32 = 4√2
3(7/3) = √(37) = √2187 = 3√3
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
A radiciação é um conceito fundamental na matemática, sendo uma operação inversa à potenciação.
Neste tutorial, exploraremos a operação aritmética de radiciação e suas propriedades.
- Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice
- Propriedade 2: Potência de expoente radical
- Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais
- Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais
- Propriedade 5: Potência de uma raiz
- Propriedade 6: Raiz de outra raiz Propriedade 7: Simplificação de raízes
Radiciação é o método matemático inverso à potenciação.
Enquanto os cálculos com potências são determinados pela multiplicação de elementos iguais sucessivas vezes, a radiciação procura quais são esses elementos. Em 11², por exemplo, temos: 11² = 11.11 = 121.
Neste caso, dizemos que a raiz quadrada de 121 é igual a 11.
A radiciação é uma operação matemática que consiste em encontrar o número que, quando multiplicado por si mesmo, resulta em um número dado.
Por exemplo, a raiz quadrada de 25 é 5, porque 5 * 5 = 25.
A radiciação é uma operação inversa da potenciação.
A potenciação é a operação de multiplicar um número por si mesmo um certo número de vezes.
Por exemplo, 4² = 16, porque 4 * 4 = 16.
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, dá um valor que conhecemos.
Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 2 vezes dá como resultado 25?
Por tentativa podemos descobrir que:
5 x 5 = 25, ou seja, escrevendo na forma de raiz, temos: √25 = 5
Definição de Radiciação:
A radiciação é uma operação matemática que extrai a raiz de um número.
Seja:
n e a, onde a é o radicando e n é o índice da raiz.
a → Radicando
n → índice
b → raiz
√ → Radical
Raízes Comuns:
Raiz quadrada:
com = 2n =2.
Raiz cúbica :
com = 3n = 3.
Notação de Radiciação:
A notação:
indica a raiz n de a.
“Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice
“A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.
Exemplos:
“Propriedade 2: Potência de expoente radical
“A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo:”
“A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo:”
“Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais
“A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.
Exemplo:
“Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais
“De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.
“Propriedade 5: Potência de uma raiz
“A propriedade 5 nos diz que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.”
“Propriedade 6: Raiz de outra raiz
“Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.
“Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.
Propriedade 7: Simplificação de raízes
“A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
Neste tutorial, vamos explorar as propriedades fascinantes da operação aritmética conhecida como Logaritmo.
Exemplo: log 16 = 4, pois 2 = 16.
Logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1.
Desta forma, o logaritmo é uma operação na qual queremos descobrir o expoente que uma dada base deve ter para resultar em uma certa potência.
Por esse motivo, para fazer operações com logaritmos é necessário conhecer as propriedades da potenciação.Definição de logaritmo:
Exemplo: log 16 = 4, pois 2 = 16.
As duas equações descrevem a mesma relação entre a, b e c:
b é a base,
c é o expoente, e
a é chamado de argumento.
Uma observação útil
Quando reescrevemos uma equação exponencial em forma de log, ou uma equação logarítmica na forma exponencial, é importante lembrar que a base do logaritmo é igual à base do expoente.
“Nomenclatura:
b → base
a → logaritmando
c → logaritmo
Propriedades dos logaritmos
Existem casos em que a simples aplicação da definição não é o suficiente para resolvê-los, então, para isso, foram desenvolvidas algumas propriedades que facilitam essa resolução.
1ª propriedade: logaritmo de um produto
2ª propriedade: logaritmo do Quociente
3ª propriedade: logaritmo da Potencia
4ª propriedade: logaritmo de uma Raiz
O domínio dessas ferramentas é essencial para a resolução dos problemas sobre esse tema e para utilizar-se de logaritmos a fim de solucionar equações exponenciais de bases diferentes. Considere X e Y dois números reais positivos e diferentes de 1 para o exemplo a seguir.
1ª propriedade: logaritmo de um produto
O logaritmo de um produto pode ser separado na adição do logaritmo de mesma base de cada um dos fatores.
Logb(X · Y) = LogbX + LogbY
2ª propriedade: logaritmo do Quociente
O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.
3ª propriedade: logaritmo de uma potência
O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.
4ª propriedade: logaritmo de uma Raiz
O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando:
